Mathématiques de base Exemples

$\frac{10 y^{2} - 3 y - 4}{5 y^{2} - y - 4} \div \frac{1 - 4 y^{2}}{15 y^{2} + 12 y}$

Étape 1

Pour diviser par une fraction, multipliez par sa réciproque.

$\frac{10 y^{2} - 3 y - 4}{5 y^{2} - y - 4} \cdot \frac{15 y^{2} + 12 y}{1 - 4 y^{2}}$

Étape 2

Factorisez par regroupement.

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Étape 2.1

Pour un polynôme de la forme $a x^{2} + b x + c$ , réécrivez le point milieu comme la somme de deux termes dont le produit est $a \cdot c = 10 \cdot - 4 = - 40$ et dont la somme est $b = - 3$ .

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Étape 2.1.1

Factorisez $- 3$ à partir de $- 3 y$ .

$\frac{10 y^{2} - 3 (y) - 4}{5 y^{2} - y - 4} \cdot \frac{15 y^{2} + 12 y}{1 - 4 y^{2}}$

Étape 2.1.2

Réécrivez $- 3$ comme $5$ plus $- 8$

$\frac{10 y^{2} + (5 - 8) y - 4}{5 y^{2} - y - 4} \cdot \frac{15 y^{2} + 12 y}{1 - 4 y^{2}}$

Étape 2.1.3

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{10 y^{2} + 5 y - 8 y - 4}{5 y^{2} - y - 4} \cdot \frac{15 y^{2} + 12 y}{1 - 4 y^{2}}$

Étape 2.2

Factorisez le plus grand facteur commun à partir de chaque groupe.

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Étape 2.2.1

Regroupez les deux premiers termes et les deux derniers termes.

$\frac{(10 y^{2} + 5 y) - 8 y - 4}{5 y^{2} - y - 4} \cdot \frac{15 y^{2} + 12 y}{1 - 4 y^{2}}$

Étape 2.2.2

Factorisez le plus grand facteur commun à partir de chaque groupe.

$\frac{5 y (2 y + 1) - 4 (2 y + 1)}{5 y^{2} - y - 4} \cdot \frac{15 y^{2} + 12 y}{1 - 4 y^{2}}$

Étape 2.3

Factorisez le polynôme en factorisant le plus grand facteur commun, $2 y + 1$ .

$\frac{(2 y + 1) (5 y - 4)}{5 y^{2} - y - 4} \cdot \frac{15 y^{2} + 12 y}{1 - 4 y^{2}}$

Étape 3

Factorisez par regroupement.

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Étape 3.1

Pour un polynôme de la forme $a x^{2} + b x + c$ , réécrivez le point milieu comme la somme de deux termes dont le produit est $a \cdot c = 5 \cdot - 4 = - 20$ et dont la somme est $b = - 1$ .

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Étape 3.1.1

Factorisez $- 1$ à partir de $- y$ .

$\frac{(2 y + 1) (5 y - 4)}{5 y^{2} - (y) - 4} \cdot \frac{15 y^{2} + 12 y}{1 - 4 y^{2}}$

Étape 3.1.2

Réécrivez $- 1$ comme $4$ plus $- 5$

$\frac{(2 y + 1) (5 y - 4)}{5 y^{2} + (4 - 5) y - 4} \cdot \frac{15 y^{2} + 12 y}{1 - 4 y^{2}}$

Étape 3.1.3

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{(2 y + 1) (5 y - 4)}{5 y^{2} + 4 y - 5 y - 4} \cdot \frac{15 y^{2} + 12 y}{1 - 4 y^{2}}$

Étape 3.2

Factorisez le plus grand facteur commun à partir de chaque groupe.

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Étape 3.2.1

Regroupez les deux premiers termes et les deux derniers termes.

$\frac{(2 y + 1) (5 y - 4)}{(5 y^{2} + 4 y) - 5 y - 4} \cdot \frac{15 y^{2} + 12 y}{1 - 4 y^{2}}$

Étape 3.2.2

Factorisez le plus grand facteur commun à partir de chaque groupe.

$\frac{(2 y + 1) (5 y - 4)}{y (5 y + 4) - (5 y + 4)} \cdot \frac{15 y^{2} + 12 y}{1 - 4 y^{2}}$

Étape 3.3

Factorisez le polynôme en factorisant le plus grand facteur commun, $5 y + 4$ .

$\frac{(2 y + 1) (5 y - 4)}{(5 y + 4) (y - 1)} \cdot \frac{15 y^{2} + 12 y}{1 - 4 y^{2}}$

Étape 4

Factorisez $3 y$ à partir de $15 y^{2} + 12 y$ .

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Étape 4.1

Factorisez $3 y$ à partir de $15 y^{2}$ .

$\frac{(2 y + 1) (5 y - 4)}{(5 y + 4) (y - 1)} \cdot \frac{3 y (5 y) + 12 y}{1 - 4 y^{2}}$

Étape 4.2

Factorisez $3 y$ à partir de $12 y$ .

$\frac{(2 y + 1) (5 y - 4)}{(5 y + 4) (y - 1)} \cdot \frac{3 y (5 y) + 3 y (4)}{1 - 4 y^{2}}$

Étape 4.3

Factorisez $3 y$ à partir de $3 y (5 y) + 3 y (4)$ .

$\frac{(2 y + 1) (5 y - 4)}{(5 y + 4) (y - 1)} \cdot \frac{3 y (5 y + 4)}{1 - 4 y^{2}}$

Étape 5

Simplifiez le dénominateur.

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Étape 5.1

Réécrivez $1$ comme $1^{2}$ .

$\frac{(2 y + 1) (5 y - 4)}{(5 y + 4) (y - 1)} \cdot \frac{3 y (5 y + 4)}{1^{2} - 4 y^{2}}$

Étape 5.2

Réécrivez $4 y^{2}$ comme ${(2 y)}^{2}$ .

$\frac{(2 y + 1) (5 y - 4)}{(5 y + 4) (y - 1)} \cdot \frac{3 y (5 y + 4)}{1^{2} - {(2 y)}^{2}}$

Étape 5.3

Les deux termes étant des carrés parfaits, factorisez à l’aide de la formule de la différence des carrés, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ où $a = 1$ et $b = 2 y$ .

$\frac{(2 y + 1) (5 y - 4)}{(5 y + 4) (y - 1)} \cdot \frac{3 y (5 y + 4)}{(1 + 2 y) (1 - (2 y))}$

Étape 5.4

Multipliez $2$ par $- 1$ .

$\frac{(2 y + 1) (5 y - 4)}{(5 y + 4) (y - 1)} \cdot \frac{3 y (5 y + 4)}{(1 + 2 y) (1 - 2 y)}$

Étape 6

Simplifiez les termes.

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Étape 6.1

Annulez le facteur commun de $5 y + 4$ .

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Étape 6.1.1

Factorisez $5 y + 4$ à partir de $3 y (5 y + 4)$ .

$\frac{(2 y + 1) (5 y - 4)}{(5 y + 4) (y - 1)} \cdot \frac{(5 y + 4) (3 y)}{(1 + 2 y) (1 - 2 y)}$

Étape 6.1.2

Annulez le facteur commun.

$\frac{(2 y + 1) (5 y - 4)}{(5 y + 4) (y - 1)} \cdot \frac{(5 y + 4) (3 y)}{(1 + 2 y) (1 - 2 y)}$

Étape 6.1.3

Réécrivez l’expression.

$\frac{(2 y + 1) (5 y - 4)}{y - 1} \cdot \frac{3 y}{(1 + 2 y) (1 - 2 y)}$

Étape 6.2

Multipliez $\frac{(2 y + 1) (5 y - 4)}{y - 1}$ par $\frac{3 y}{(1 + 2 y) (1 - 2 y)}$ .

$\frac{(2 y + 1) (5 y - 4) (3 y)}{(y - 1) ((1 + 2 y) (1 - 2 y))}$

Étape 6.3

Annulez le facteur commun à $2 y + 1$ et $1 + 2 y$ .

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Étape 6.3.1

Remettez les termes dans l’ordre.

$\frac{(2 y + 1) (5 y - 4) (3 y)}{(y - 1) ((2 y + 1) (1 - 2 y))}$

Étape 6.3.2

Annulez le facteur commun.

$\frac{(2 y + 1) (5 y - 4) (3 y)}{(y - 1) ((2 y + 1) (1 - 2 y))}$

Étape 6.3.3

Réécrivez l’expression.

$\frac{(5 y - 4) (3 y)}{(y - 1) (1 - 2 y)}$

Étape 6.4

Remettez dans l’ordre.

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Étape 6.4.1

Déplacez $3$ à gauche de $5 y - 4$ .

$\frac{3 \cdot (5 y - 4) y}{(y - 1) (1 - 2 y)}$

Étape 6.4.2

Remettez les facteurs dans l’ordre dans $\frac{3 (5 y - 4) y}{(y - 1) (1 - 2 y)}$ .

$\frac{3 y (5 y - 4)}{(y - 1) (1 - 2 y)}$